Son premier professeur de musique fut son père qui jouait de la clarinette basse à l’orchestre RIAS de Berlin. De 1953 à 1956 Leister fait ses études à la Musikhochschule de Berlin. Il devint ensuite clarinette solo de l’orchestre de l’Opéra comique de Berlin. En 1959, Herbert von Karajan l’invite à l’Orchestre philharmonique de Berlin. C’est là que Leister joue jusqu’en 1993. Karajan a beaucoup influencé son style d’interprétation et sa carrière.

Début des années 1960, Leister commence à se produire comme soliste et musicien de chambre, il réalise alors quelques enregistrements. En 1986, il fonde l’ensemble « Les solistes de Berlin », dont les participants sont des musiciens de l’Orchestre philharmonique de Berlin, de l’Orchestre radiophonique de Berlin ou des étudiants de l’Université Mozarteum de Salzburg ou de la « Musikhochschule » de Cologne.

Dans les années 1980-1990, Leister fait de nombreux enregistrements chez Teldec, Sony Classical, EMI, Deutsche Grammophon Gesellschaft, BIS, Camerata, Orfeo ou bien d’autres compagnies de disque. Parmi ses interprétations les plus célèbres on peut citer les concertos de Wolfgang Amadeus Mozart, Carl Maria von Weber et de Louis Spohr, dont il passe pour l’un de meilleurs exécutants.

En 1994, après avoir quitté l’orchestre, il est nommé professeur à la Musikhochschule de Berlin, où il travaille pendant huit ans.

Il continue aujourd’hui à donner des masterclasses et des concerts dans le monde entier.